Upstreak

ICM, она же Independent Chip Model, она же Модель Независимых Фишек – это хорошо известная и широко распространенная концепция в мире одностоловых турниров. Тем не менее, далеко не все игроки знакомы с понятием ICM и все чаще пытаются дать этому понятию достойное определение. Давайте вместе попробуем внести некую ясность в этот вопрос?

Итак, в турнирном покере, чем меньше фишек у вас в стэке, тем ваш стэк становится ценнее. Стэк в 100 фишек ценнее, чем десятая часть стэка в 1,000 фишек. Это связано со структурой призовых выплат в турнире.

Основной постулат.

Что бы вычислить истинную ценность турнирных фишек игрока, делается одно существенное предположение:

«Шансы игрока на победу в турнире равны доле фишек игрока от общего количества фишек в турнире».

Если у вас в стэке 50% всех фишек турнира, ваш шанс на победу – 50%. Если у вас 10% фишек – ваш шанс на победу равен 10%. Если у вас 100% фишек, вы соответственно, уже победили.

Это предположение основано на другом предположении: ваш уровень игры равняется среднему уровню игры за столом. Это далеко не всегда будет являться правдой, однако, оно позволяет нам делать расчеты.

Эффект призовых выплат.

Согласно системе призовых выплат в турнире, 1-ое место является не единственным, имеющим ценность. Второе место так же оплачивается, и существует вероятность, что вы займете это место, что добавляет вам эквити. Это же распространяется на все оплачиваемые места.

Что бы посчитать ваше ЕВ (expected value) в турнире, в зависимости от вашего текущего количества фишек, вы должны найти вероятность своего окончания турнира на каждом из оплачиваемых мест умножить ее на распределенные призовые выплаты, и соединить эти кусочки эквити воедино.

Именно в этом и заключается ICM. Сама концепция не слишком сложна. Однако, если речь идет многом количестве участников и множестве мест с призовыми выплатами, то вычисления могут значительно растянуться. Вдобавок, к этому можно прибавить некоторые весьма сложные ньюансы, которые тоже могут внести свои коррективы в вычисления.

Пример ICM (3-игрока).

Давайте рассмотрим маленький пример, что бы понять, как проводятся эти вычисления. В игре осталось 3 игрока и предусмотрены выплаты 2-ум игрокам.

Игрок	Фишки
Игорь	500
Витя	400
Андрей	100

 

Место	Приз ($)
1	400
2	100
3	0

 

У Игоря половина фишек, поэтому, если призы выплачивались бы только за первое место, то математическое ожидание Игоря, согласно вышеупомянутому основному постулату, равнялось бы 0,5*400 = 200 $. Однако, если он не занимает 1-ое место, то он вполне может занять второе.

Чудесное прикосновение ICM.

В этом разделе содержится смысл всего фокуса, так что обратите внимание!

Если не выигрывает Игорь, то существует 2 возможных ситуаций: выигрывает Витя или выигрывает Андрей. Вероятность обоих событий, как мы уже и утверждали, равен доле фишек каждого из них соответственно. Теперь мы должны вычислить вероятность Игоря закончить турнир вторым в обоих этих случаях.

Если Витя выиграет (вероятность этого равняется 40%), то что бы закончить на втором месте, Игорю останется обыграть Андрея. Между ними на данный момент 600 фишек и 83% (500/600) из них сейчас принадлежит Игорю. Опять же, основываясь на упомянутом постулате, шанс Игоря обыграть Андрея равен 83% (в случае победы Вити).

Следует заметить, что эта часть подлежит обсуждению. Для вычисления вероятности завершения турнира на втором месте предлагаются несколько моделей, однако, именно эту используют большинство ICM калькуляторов, и на то есть свои основания, о которых мы скажем позже.

Если же выиграет Андрей (а вероятность этого события равна 10%), то шанс, что Андрей обойдет Витю, на данный момент равен 500/900 = 56%. Таким образом, шанс, что Игорь закончит вторым равняется:

P = 0,4*0,83+0,1*0,56=0,39

Cледовательно, эквити турнира для Игоря, в данный момент равняется 239 $. Это можно вычислить следующим образом.

E = 0,50*400 + 0,39*100 = 239

У шортстаков больше эквити, чем они заслуживают.

Здесь мы видим один интересный аспект в структуре выплаты призовых: несмотря на то, что Игорю принадлежит половина фишек, его эквити меньше, чем половина призового фонда. У него 50% на победу в турнире, но шанс меньше 50% на то, что бы занять второе место, и поэтому, он теряет некоторое эквити.

Если же мы сделаем некоторые расчеты для Андрея, то мы увидим, что его эквити будет равняться 57 $.

Вероятность Андрея занять второе место:

P2 = 0.50 * 0.20 + 0.40 * 0.17 = 0.17

И его общее эквити турнира на данный момент.

E = 0.10 * 400 + 0.17 * 100 = 57

Это больше, чем 10% всего призового фонда. 10%-ная доля фишек Андрея стоят больше, чем 10% призового фонда. Эквити, которое теряет Игорь должно уйти куда-то, и оно распределяется между Витей и Андреем.

Если мы поделим эквити игроков на количество фишек, которое они имеют, то получим цену одной фишки у каждого игрока.

 

Игрок	Фишки	Эквити($)	Эквити одной фишки ($)
Игорь	500	239	0.48
Витя	400	204	0.51
Андрей	100	57	0.57

 

Короткие стэки платят больше, чем длинные.

Как мы уже и говорили, чем короче ваш стэк, тем ценнее для вас каждая фишка.

Умные люди в состоянии выловить из этого тезиса целый ряд умозаключений, о том, как скорректировать свою турнирную игру. К примеру, вы можете постоянно изучать турнирную ситуацию, и просчитывать эквити вашей руки совмещенную с эквити ваших фишек взамен обыкновенных шансов банка, что бы найти оптимальный вариант розыгрыша.

На давайте отметим другую важную деталь: то, как ICM объясняет логику игры большим стэком. Ставки шорт-стэка стоят дороже ставок биг-стэка. Каждый раз, когда большой стэк ставит ставку в игре против маленького стэка, шортстэку приходится платить за колл более высокую цену. Не удивительно, что большие стэки могут постоянно выводить шортсэков своими ставками из игры.

Еще несколько деталей о ICM.

Для тех, кто хочет знать еще больше, мы засветим еще некоторый объем информации.

Давайте введем следующие переменные для обозначения исхода турнира:

И1 – Игорь финиширует 1

И2 – Игорь финиширует 2

В1 – Витя финиширует 1

В2 – Витя финиширует 2

А1 – Андрей финиширует 1

А2 – Андрей финиширует 2

Количество фишек каждого игрока мы обозначим следующим образом:

И – фишки Игоря

В – фишки Вити

А – фишки Андрея

В начале статьи, мы предположили, что шанс выиграть турнир равняется долям фишек каждого игрока, которые мы обозначили через и, в и а.

P(И1) ≡ и= И / (И+B+А) 
P(B1) ≡ в = B / (И+B+А) 
P(А1) ≡ а = А / (И+B+А)

Когда речь идет о вероятности финиширования вторым, то есть 2 ситуации, когда игрок может это сделать: когда каждый из  двух его соперников финиширует первым.

Эту вероятность можно выразить следующей формулой:

P(И2) = P(И2|B1)*P(B1) + P(И2|А1)*P(А1) 
P(B2) = P(В2|И1)*P(И1) + P(В2|А1)*P(А1)
P(А2) = P(А2|B1)*P(B1) + P(А2|И1)*P(И1)

Где P(И2|B1) является вероятностью для И2 при данном В1 – когда Игорь закончит на втором месте, если Витя будет первым. Это вероятность, по сути, обозначает долю фишек Игоря от общего количества фишек Игоря и Андрея вместе взятых, за вычетом фишек Вити. Это можно записать следующей формулой:

P(И2|B1) = И/(И+А)

Таким образом, первая из трех формул расписывается как P(И2) = (И/(И+А)* B / (И+B+А)) + ((И/(И+В)*А / (И+B+А)) = И/(И+B+А)*(B/(И+А) + А/(И+B)) = и*(в/(1-в) + а/(1-а))

Вероятности второго места.

Мы рассмотрели вероятность игрока закончить игру на втором месте, если мы знаем, что определенный игрок занял первое место. Вычитая текущую долю фишек победителя, мы замеряли пропорциональную долю фишек интересующего игрока к общему количеству фишек между игроками кроме победителя.

Люди ставили под сомнение этот метод, предлагая другие способы вычисления этой вероятности: речь шла даже о рандомных симуляциях дальнейших событий, начиная с текущих размеров стэков. Но у упомянутого нами метода есть множество оснований для существования.

Если считать, что Витя выиграет в турнире, то для того, что бы занять второе место, должен вылететь сначала 1, а потом и второй игрок. У Игоря 500 фишек, у Андрея их всего 100. Не правда ли, есть причины полагать, что Андрей, в среднем, в 5 из 6 случаев будет вылетать первым? А это значит, что Игорь займет второе место.

Как бы то ни было, можно дискуссировать о том, какая из концепций подсчета является более верной, но именно эту используют все ICM калькуляторы в сети.

Более трех игроков?

Пока что мы рассматривали варианты только с тремя вовлеченными игроками. Для большего количества игроков, принцип остается тем же, однако вычисления становятся более углубленными.

Что бы в этом удостоверится, давайте вскользь просмотрим случай с четырьмя игроками и тремя оплачиваемыми местами.

Фишки – A, B, C, D.

Вероятности вылета: A1, A2, A3, A4, B1, B2 и так далее.

Для описания возможности окончания игры на первом, втором и третьем месте, мы продолжаем разделять события на возможные ситуации.

Для первого события, пользуемся все той же старой формулой.

P(A1) = A/(A+B+C+D)

Три вероятных случая описывают вероятность игрока закончить на втором месте

P(A2) = P(A2|B1)*P(B1) + P(A2|C1)*P(C1) + P(A2|D1)*P(D1)

И куда более углубленная формула описывает вероятность остаться третьим:

P(A3) = P(A3|B2)*P(B2) + P(A3|C2)*P(C2) + P(A3|D2)*P(D2) = P(A3|B2)*[ P(B2|C1)*P(C1) + P(B2|D1)*P(D1) ] + P(A3|C2)*[ P(C2|B1)*P(B1) + P(C2|D1)*P(D1) ] + P(A3|D2)*[ P(D2|B1)*P(B1) + P(D2|C1)*P(C1) ] = [ P(A3|B2,C1) + P(A3|B2,D1) ] * [ P(B2|C1)*P(C1) + P(B2|D1)*P(D1) ] +[ P(A3|C2,B1) + P(A3|C2,D1) ] * [ P(C2|B1)*P(B1) + P(C2|D1)*P(D1) ] + [ P(A3|D2,B1) + P(A3|D2,C1) ]*[ P(D2|B1)*P(B1) + P(D2|C1)*P(C1) ]

Как обычно, для вычисления вероятности игрока занять второе место, мы используем его долю фишек от общего количества фишек, за исключением фишек победителя.

К примеру: P(B2|C1) = B/(A+B+D)

Если игрок А заканчивает третьим, в то время, как игрок В заканчивает вторым, то на победу рассчитывают игроки С и D, что снова нас приводит к случаю, когда мы используем долю фишек игрок от общего количества фишек, за исключением фишек победителя и второго места.

P(A3|B2) = P(A3|B2,C1) + P(A3|B2,D1) = A/A+D + A/A+C

Мы уже видели, что P(A3) представляет собой ужасную формулу. Представьте себе, как будет выглядеть формула P(A120)? Этого мы, все-таки, показывать не будем.

Чарли Ривер, pokerjunkie.com